Descomposición en “trípode” de un torsor

Con esta denominación tratamos de la descomposición de un torsor en seis fuerzas, tres de las cuales que son coplanarias y tienen sus rectas soporte sobre los lados de un triángulo de área no nula y los otras tres son paralelas entre sí y están aplicadas en los vértices del triángulo anterior (A1, A2, A3) donde el vector director (v) de las tres fuerzas paralelas no paralelo al plano mencionado. Comprobamos a continuación que este teorema es un corolario de los anteriores.

hipótesis:

Consideremos el torsor del sistema que queremos descomponer referido al punto A1: τ={A1, R, M[A1] }

La no alineación de los puntos Ai se expresa por: n=(A2-A1),Λ(A3-A2)≠0

Representación de las fuerzas

El no paralelismo entre el vector director de las tres últimas fuerzas y el plano definido por los puntos Ai (i=1,..3) v.n≠0

demostración:

El sistema dado puede desdoblarse en un sistema coplanario y una fuerza orientada en la dirección de v tal como se demuestra en el apartado 17

Torsor del sistema coplanario referido al punto A1:

τa={A1 fa=(nΛ(RΛv)) / (n.v) , Ma[A1] =(M[A1].v) n /(n.v)}

Torsor de la fuerza paralela al vector v referido al punto A1:

τc={A1 fc=(R.n) v / (v.n ) , Mc[A1] =(vΛ(M[A1]Λn)) / (v.n)}

El sistema coplanario de torsor τa admite una descomposición única en tres fuerzas con rectas soporte los lados del triángulo de vértices Ai tal como se demostró en el apartado 18 y volvió a aparecer en el apartado 20.

A partir de la expresión obtenida para el momento de este sistema coplanario respecto del punto A1

Ma[A1] =(M[A1].v) n /(n.v)

y de su resultante:

fa=(nΛ(RΛv)) / (n.v)

se obtienen:

Ma[A2]=Ma[A1]+(A1-A2)Λfa
Ma[A3]=Ma[A1]+(A1-A3)Λfa

y con estos momentos se pueden calcular las fuerzas de la descomposición que tienen sus rectas soporte sobre los lados del triángulo mencionado.

fuerza 3={A1, fa3=(Ma[A3].n) (A2 fuerza 1={A2, fa1=(Ma[A1].n) (A3 fuerza 2={A3, fa2=(Ma[A2].n) (A1-A1) / (n.n) }, -A2) / (n.n) }, -A3) / (n.n) }

Con ayuda del segundo de los teoremas desarrollados en el apartado 18 se obtienen las siguientes expresiones para las tres fuerzas aplicadas a los puntos Ai (i=1,..3)

paralelas al vector v:

Representación de las fuerzas

fuerza 4= {A1, (Mc[A2].(A3-A2)) fuerza 5= {A2, (Mc[A3].(A1-A3)) fuerza 6 ={A3, (Mc[A1].(A2-A1))

Siendo:

Mc[A2]=Mc[A1]+(A1-A2)Λfc
Mc[A3]=Mc[A1]+(A1-A3)Λfc
v / (n. v)}, v / (n. v )} v /

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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