Descomposición tetraédrica de un torsor

Se demostrará que cualquier sistema de fuerzas admite un sistema equivalente constituido por seis fuerzas cuyas rectas soporte son las aristas de un tetraedro de volumen no nulo.

hipótesis

Sean B A1 , A2 y A3 los cuatro vértices del tetraedro, la condición de volumen no nulo obliga que los puntos Ai (i=1,..3) no estén alineados n = (A2-A1)Λ(A3-A2)≠0

y que el punto B no pertenezca al plano (π) definido por los puntos Ai (i=1,..3): (B-A1).n≠0

demostración:

El torsor del sistema que damos referido al punto B ( τ={B, R, M[B]}), tal como se demostró en el apartado 16, admite una descomposición única en un torsor coplanario al plano π

Representación de las fuerzas

(19.1) τa ={A1, fa =(M[B]Λn) / ((A-B).n) , Ma[A1]=(M[B].(A1-B)) n / (n.(A1-B))}

y una fuerza aplicada en B:

{B, fb=R-fa}

El sistema coplanario puede descomponerse de manera única en tres fuerzas cuyas rectas soporte son los lados del triángulo de vértices Ai (i=1,..3) tal como se demostró en el apartado (?)

fuerza 3={A1, fa3=(Ma[A3].n) (A2 fuerza 1={A2, fa1=(Ma[A1].n) (A3 fuerza 2={A3, fa2=(Ma[A2].n) (A1-A1) / (n.n) }, -A2) / (n.n) }, -A3) / (n.n) }

siendo:

Ma[A2]=Ma[A1]+(A1-A2)Λfa
Ma[A3]=Ma[A1]+(A1-A3)Λfa

La fuerza aplicada al punto B puede a su vez descomponerse en tres fuerzas orientadas según las aristas del tetraedro que concurren en el punto B, tal como se demuestra en el apartado ?

fuerza 4= {B, (fb.(v2Λv3)) v1 / (v1.(v2Λv3)) },
fuerza 5= {B, (fb.(v3Λv1)) v2 / (v1.(v2Λv3)) },
fuerza 6={B, (fb.(v1Λv2)) v3 / (v1.(v2Λv3)) }

siendo: vi = (Ai-B) (i=1,..3)

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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