Teoremas sobre ángulos

Contenido: Introducción. Clasificación de los ángulos. Ángulos comparativos. Ángulos entre paralelas. Teoremas de ángulos. Elementos secundarios de un triángulo.

Objetivo: Al finalizar la competencia describirá los fundamentos teóricos de los teoremas sobre ángulos, sin error.

Introducción

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta.

Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Clasificación de los ángulos

Clasificación de ángulos

Ángulos comparativos

Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.

- Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°

Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.

- Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado común.

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta.

- Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.

Ángulos entre paralelas

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que “fuera” de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Teoremas de ángulos

- Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

- Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.

- Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.

- Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.

- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Elementos secundarios de un triángulo

Alturas: Son segmentos perpendiculares (segmentos que forman ángulos de 90º) a un lado o a su prolongación desde el vértice opuesto. La altura se designa con la letra h y un subíndice que señala el lado del cual se levanta.

Un triángulo tiene tres alturas, una por cada lado (ha, hb, hc).

El punto O donde concurren las tres alturas se llama Ortocentro (O).

El lado y su altura forman un ángulo de 90º.

Bisectrices: Es la recta que dimidia un ángulo; es decir, es la recta que divide un ángulo en su mitad. Un triángulo tiene 3 bisectrices, uno por cada ángulo y se designan normalmente por la letra b y un subíndice que señala el respectivo ángulo interior.

El punto O donde concurren las tres bisectrices se llama incentro. El incentro corresponde al centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

Simetrales o Mediatrices: Corresponden a rectas perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo en su punto medio.

Las tres simetrales se cortan en un punto llamado (O) circuncentro. La circunferencia pasa por los tres vértices.

Siempre debe tenerse en cuenta que:

- Si existe una simetral, existe un ángulo recto y un punto medio.
- La simetral no siempre pasa por el vértice opuesto.
- En todo triángulo se puede circunscribir una circunferencia cuyo centro es el circuncentro.

Transversales de gravedad: Es el segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene tres transversales de gravedad, una por cada lado y se designan normalmente con la letra t y un subíndice que señala el lado (ta, tb, tc).

El punto donde se intersectan las tres simetrales se llama baricentro y se representa con la letra G.

Fuentes: Wikipedia.org, Enciclopedia Encarta y Rincondelvago.com