Descomposición de los sistemas de fuerzas

Se introduce una serie de teoremas que permiten resolver, mediante métodos vectoriales, muchos de los problemas relativos a la estática de los cuerpos rígidos tales como: predecir si un sistema de ligaduras equilibra a un cuerpo rígido sometido a un determinado sistema de cargas, arbitrar modelos de ligaduras que inmovilizan a cualquier rígido, elegir la forma de inmovilizar el cuerpo que genere menos tensión en las ligaduras en función del sistema de cargas que actúa sobre el mismo, también permiten calcular los valores que toman las fuerzas ejercidas por dichas ligaduras en relación al sistema de fuerzas que tiene aplicado el sólido.

Toda fuerza cuya recta soporte venga determinada por un punto (A) y un vector director (v ) tendrá una resultante de la forma αv, y un momento resultante respecto del polo Q: M[Q]=(A-Q)Λαv=α m[Q], siendo m[Q]≡ (A-Q)Λv. El torsor del sistema formado por esta única fuerza es: τ ={Q, αv, α m[Q]}.

El conjunto formado por los dos vectores: v y m[Q], caracterizan a un eje (recta orientada). Sean {vx, vy, vz} las componentes del vector director v y {mx[Q], my[Q], mz[Q]} las componentes del vector m[Q], a partir de estos dos conjuntos definiremos el hexavector: t[Q]={vx, vy, vz, mx[Q], my[Q], mz[Q]} que, como dijimos, caracteriza a un eje.

Decimos que un conjunto de ejes es independiente cuando lo son los hexavectores que los representan, todos ellos referidos al mismo polo (Q), o lo que es lo mismo: {t1[Q],t2[Q],…,tn[Q]} son independientes cuando el sistema de ecuaciones: α1t1[Q]+α2t2[Q]+…+αntn[Q]= {0,0,0,0,0,0} solo admita como solución: α1=α2=…=αn=0. Lo que equivale a decir que el rango de la siguiente matriz es igual a n.

¡Error!

Dado que el mayor rango alcanzable por una matriz de seis columnas es precisamente 6, una base para el espacio de estos hexavectores estará constituido por seis de los mismos (t1[Q],t2[Q],,t3[Q],t4[Q],t5[Q],t6[Q]) con tal que no sea nulo el determinante de la matriz definida por sus componentes.

¡Error!≠0

De lo dicho anteriormente se deduce que todo torsor se puede descomponer de manera única en seis torsores cada uno de ellos asociado a una fuerza. Los “ejes” de estas fuerzas están definidos por hexavectores independientes.

τ={Q, R,M[Q]}=∑6 {Q, αi vi ,αim[ Q ]i }

i =1

Dicho de otra manera: todo sistema de fuerzas admite su descomposición en seis fuerzas cuyos ejes podemos elegir con un elevado grado de arbitrariedad ya que solamente quedan subordinadas a las relación de independencia ya indicada.

Entre otros casos, un conjunto de seis ejes se cumple la relación de independencia y por tanto éstos constituyen una base, cuando:

1) el conjunto de sus rectas soporte contienen a las seis aristas de un tetraedro de volumen no nulo,
2) están constituidas por tres ejes coplanarios no concurrentes ni paralelos y tres concurrentes no coplanarios siempre que el punto de concurrencia de estos tres últimos no esté contenido en el plano definido por los tres primeros.
3) están constituidas por tres ejes coplanarios no concurrentes ni paralelos y tres ejes paralelos no coplanarios siempre que la dirección común de estos últimos no sea paralela al plano definido por los tres primeros.
4) están constituidas por tres ejes concurrentes no coplanarios con el punto de concurrencia (B) arbitrario y otros tres ejes cuyos vectores mi[B] son independientes
5) están constituidos por tres parejas de ejes, cada una de las cuales está formada por dos ejes concurrentes en un punto Ai y cuyas direcciones no sean coincidentes, y de tal forma que los planos definidos por estas tres parejas de ejes no tengan una recta común.

Por otra parte se puede asegurar que seis ejes no constituyen una base para la descomposición de los torsores cuando para éstos se verifica que:

1) más de tres de los ejes son paralelos.
2) más de tres de los ejes son coplanarios.
3) más de tres de los ejes son concurrentes.
4) una única recta corta a los seis ejes.
5) el conjunto está formado por dos ternas de ejes, cada una de ellas concurrente en un punto.
6) todos los ejes están contenidos en un haz de planos con una recta común.
7) todos los ejes están contenidos en planos paralelos.
8) se agrupan en dos haces de ejes paralelos.
9) el conjunto de ejes está dividido en dos subconjuntos: uno de ellos formado por ejes concurrentes y el otro formado por ejes paralelos.

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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