Descomposición de un torsor en una fuerza aplicada en un punto

Descomposición de un torsor en una fuerza aplicada en un punto (B) y tres fuerzas cuyas rectas soporte elegimos arbitrariamente salvo lo que afecta a las siguientes restricciones: los respectivos planos definidos por sus rectas soporte y el punto B no tienen una recta común y las tres rectas no son paralelas.

Todo torsor admite uno equivalente formado por cuatro fuerzas sometidas a las restricciones indicadas en el enunciado de este apartado.

hipótesis:

Sea un sistema cualquiera cuyo torsor en el punto B representamos por:

τ={B, R, M[B]},

Las fuerzas solicitadas serán de la forma:

{B, fb}, {A1 ,α1u1}, {A2 ,α2u2},{A3 ,α3u3}

Las condiciones que establecen que las rectas soportes de estas últimas no pasan por B son:

m1= (A1-B)Λu1≠0, m2= (A2-B)Λu2≠0, m3= (A3-B)Λu3≠0

La restricción enunciada en el título de este apartado equivale a decir que los vectores (mi) normales a los mencionados planos son vectores independientes:

(m1Λm2).m3≠0

demostración

La equivalencia entre los dos sistemas se expresa mediante las siguientes ecuaciones:

fb+α1u1+α2u2+α3u3=R

Representación de las fuerzas

α1m1+α2m2+α3m3=M[B]

ΛPara despejar el coeficientes α1 podemos multiplicar escalarmente los dos miembros de la ecuación anterior por el vector h1=m2m3:

α1m1.h1+α2m2.h1+α3m3.h1=M[B].h1

m2.h1=m3.h1=0
m1.h1=m1.(m2Λm3)= (m1Λm2).m3≠0

α1=(M[B].h1) / (m1.h1) Λ f1=α1u1=(M[B].h1) u1 / ((m1Λm2).m3)

Por permutación circular de los índices obtenemos las tres restantes

{A1 , f1=(M[B].(m2Λm3)) u1 / ((m1Λm2).m3)},
{A2 , f2=(M[B].(m3Λm1)) u2 / ((m1Λm2).m3)},
{A3 , f3=(M[B].(m1 m2)) u3 / ((m1 m2).m3)}

La cuarta fuerza es:

{B, R- f1- f2- f3}

De este teorema podríamos derivar como corolarios todos los referentes a la descomposición de un torsor en cuatro fuerzas donde se fija el punto de aplicación de una de las mismas.

Descomposición punto-recta-perpendicular.

Todo torsor admite una descomposición en una fuerza aplicada en un punto C, una fuerza aplicada en un punto A cuya recta soporte tiene la dirección de un vector v y una fuerza aplicada en un punto B de dirección perpendicular al vector u, no estando alineados los tres puntos de aplicación (A,B y C) y no siendo paralelo el vector v al plano definido por dichos puntos, a su vez: el vector u no puede ser perpendicular a la recta que pasa por los puntos B y C.

hipótesis

El torsor del sistema en el punto C es: [C]={C, R, M[C]}

La fuerzas buscadas son de la forma:

Representación de las fuerzas

{C, fc } , {A, fa= v} , {B, fb} siendo: fb.u=0

La no alineación de los puntos A,B,C se puede formular así:

n=(B-C) (A-C)≠0

El no paralelismo entre el plano definido por los puntos A, B y C con la dirección del vector v se expresa:

n.v≠0

finalmente debe cumplirse: (B-C).u≠0

Demostración:

La equivalencia entre los dos sistemas puede formularse mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

(22.1) fa+fb+fc=R
(22,2) (A-C)Λfa+(B-C)Λfb=M[C] ⇒ (A-C)Λαv+(B-C)Λfb=M[C]

Para calcular el valor del coeficiente α basta multiplicar escalarmente los dos miembros de la ecuación (2) por el vector (B-C)

((A-C)Λαv).(B-C)+((B-C)Λfb).(B-C)=M[C].(B-C)
((B-C)Λfb).(B-C)=0 ⇒ α=(M[C].(B-C)) / (((A-C)Λv).(B-C))
((A-C)Λv).(B-C)=((B-C)∧(A-C)).v =n.v fa=αv=(M[C].(B-C)) v / (n.v)

Para despejar el vector fb podemos multiplicar vectorialmente por la derecha los dos miembros de la ecuación (2) por el vector u:

((A-C)Λfa)Λu+((B-C)Λfb)Λn=M[C]Λu
((B-C)Λfb)Λu≡((B-C).u) fb-(fb.u) (B-C)= ((B-C).u) fb fb=(M[C]Λu – ((A-C)Λfa)Λu) / ((B-C).u)

De la ecuación (1) se deriva: fc=R-fa-fb

Representación de las fuerzas

El sistema de fuerzas buscado es:

fuerza 1 = {A, fa=(M[C].(B-C)) v / (n.v)}
fuerza 2 = {B, (M[C]Λu – ((A-C)Λfa)Λu) / ((B-C).u)}
fuerza 3 = {C, fc=R-fa-fb}

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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