Descomposición de una fuerza en fuerzas paralelas

Una fuerza siempre puede descomponerse en dos fuerzas de direcciones paralelas a la misma y cuyas rectas soporte no deben ser coincidentes al tiempo que estén en el mismo plano que la fuerza que tratamos de descomponer.

hipótesis

Sean A1 y A2 sendos puntos de un plano que contiene al la recta soporte de la fuerza que queremos descomponer y sea {A1 , F, M[A1]} el torsor de dicha fuerza:

F. M[A1]=0 (por tratarse de una fuerza) (A2-A1).F 0 (indica que las dos rectas soporte de las fuerzas buscadas no son coincidentes)

Si n=(A2-A1) F: M[A1] n=0 (indica que las tres fuerzas están contenidas en el mismo plano}

Las dos fuerzas buscadas son de la forma:

demostración

{A1, α1F} y {A2, α2F}

Los torsores de ambas fuerzas en el punto A1 son:

τ1= {A1, α1F, 0}
τ2= {A1, α2F, (A2-A1)∧α2F}={A1, α2F, α2n}

La equivalencia entre el sistema primitivo y el de la descomposición se expresa por las siguientes ecuaciones:
α1F+α2F=F Λ α1+α2 = 1
α2n=M[A1]

Multiplicando escalarmente los dos miembros de la última de estas ecuaciones por el vector n obtenemos:

α2n.n=M[A1].n ⇒ α2=(M[A1].n) / (n.n)

Representación de las fuerzas

α1=1-((M[A1].n) / (n.n))

1-((M[A1].n) / (n.n))≡((n.n) -(M[A1].n)) / (n.n) ≡ ((n -M[A1]).n) / (n.n)

M[A2] =M[A1] +(A1-A2)∧F=M[A1] -n

n -M[A1] = -M[A2]

De donde resulta:

{A1, α1F=(-M[A2].n) F / (n.n) }
{A2, α2F=(M[A1].n) F/ (n.n)}

Si aplicamos una permutación circular a los índices de la primera expresión recordemos que al hacerlo el vector n=(A2-A1)ΛF cambia de signo.

Una fuerza siempre puede descomponerse de manera única en tres fuerzas de direcciones paralelas a la misma y cuyas rectas soporte, dadas, no deben ser coplanarias.

hipótesis

Sean A1, A2 y A3 tres puntos no alineados y consideremos una fuerza cuyo torsor en el punto Q es:

τ= {Q, F, M[Q]},
F. M[Q]=0

se trata de hallar tres fuerzas aplicadas respectivamente en los puntos Ai (i=1,..3), que constituyan un sistema equivalente a la fuerza dada.

Las fuerzas buscadas admiten las siguientes expresiones:

{fuerza 1= {A1, β1 F},fuerza 2= {A2, β2 F},fuerza 3 ={A3, β3 F}}

demostración

La equivalencia entre la fuerza dada y las tres que debemos hallar se puede formular a partir de la igualdad de los momentos resultantes de ambos sistemas respecto de los tres puntos no alineados Ai (i=1,..3).

Los momentos resultantes de la fuerza dada respecto de los puntos Ai se obtienen a partir de las expresiones siguientes:

M[Ai] = M[Q] + (Q-Ai)ΛF (i=1,..3)

Representación de las fuerzas

Relaciones de equivalencia:

(A2-A1)∧ β2 F +(A3-A1)∧ β3 F =M[A1]
(A3-A2)∧ β3 F +(A1-A2)∧ β1 F =M[A2]
(A1-A3)∧ β1 F +(A2-A3)∧ β2 F =M[A3]

Para despejar el coeficiente β3 basta multiplicar escalarmente ambos miembros de la primera de estas ecuaciones por el vector (A2-A1)

((A2-A1)∧ β2 F ).(A2-A1)+((A3-A1)∧ β3 F).(A2-A1) =M[A1].(A2-A1)

pero: ((A2-A1)∧ β2 F).(A2-A1) =0

((A3-A1)∧ β3 F ).(A2-A1)=β3((A2-A1)∧(A3-A1)).F

(A2-A1)∧(A3-A1)=(A2-A1)∧((A3-A2)+(A2-A1))=(A2-A1)∧(A3-A2)≡n

En resumen:

β3= (M[A1].(A2-A1)) / (n. F)

Por simple permutación circular de los índices de la expresión anterior se deducen las expresiones de los restantes coeficientes.

La condición que establece que las rectas soporte de las tres fuerzas no sean coplanarias es: n.F≠0

fuerza 1= {A1, (M[A2].(A3-A2)) F / (n. F)},
fuerza 2= {A2, (M[A3].(A1-A3)) F / (n. F)},
fuerza 3 ={A3, (M[A1].(A2-A1)) F / (n. F)}

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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