Descomposición de una fuerza en tres no coplanarias

Sean v1, v2, v2, los vectores directores de las tres rectas soporte de las fuerzas buscadas y sea C el punto de concurrencia de las mismas que suponemos situado en la recta soporte de la fuerza que queremos descomponer.

El torsor de la fuerza dada en el punto C tiene la siguiente forma: τ={C, F, 0} ya que C pertenece a su recta soporte.

Representación de las fuerzas

demostración

Las fuerzas solicitadas admiten las siguientes expresiones:

{fuerza 1= {C, κ1 v1},
fuerza 2= {C, κ2 v2},
fuerza 3 ={C, κ3 v3}}

Las ecuaciones derivadas de equivalencia, en este caso, se reducen a la igualdad entre las resultantes de ambos sistemas dado que al ser C punto de las rectas soporte de todas las fuerzas que intervienen en este ejercicio la igualdad de los momentos resultantes de ambos sistemas en este punto se reduce a una identidad (0=0).

κ1 v1+κ2 v2+κ3 v3=F

Para despejar el coeficiente κ1 basta multiplicar escalarmente los dos miembros de la ecuación anterior por el vector h1=v2∧v3

κ1 v1.(v2Λv3)+κ2 v2.(v2Λv3)+κ3 v3.(v2Λv3)=F.(v2Λv3)
κ2 v2.(v2Λv3)=κ3 v3.(v2Λv3)=0

κ1 =F.(v2Λv3) / (v1.(v2Λv3))

Por permutación circular de los índices de esta expresión se deducen los restantes coeficientes

fuerza 1= {C, (F.(v2Λv3)) v1 / (v1.(v2Λv3)) },
fuerza 2= {C, (F.(v3Λv1)) v2 / (v1.(v2Λv3)) },
fuerza 3 ={C, (F.(v1Λv2)) v3 / (v1.(v2Λv3)) }

Si aplicamos una permutación circular a los índices del producto mixto (v1.(v2∧v3)) no modificamos su valor.

También podemos descomponer una fuerza en dos con rectas no coincidentes, concurrentes con la primera siempre que las rectas soporte de las tres fuerzas mencionadas sean coplanarias.

Sea τ={C, F, 0} el torsor de la fuerza dada en el punto C de concurrencia y fuerza 1= {C, ρ1 v1}, fuerza 2= {C, ρ 2 v2} las expresiones de las fuerzas buscadas.

La condición que establece que estas fuerzas son coplanarias es: (v1Λv2).F=0, siendo n=v1Λv2≠0 (las rectas soporte de las dos fuerzas buscadas no son coincidentes y ambas pasan por el punto C)

demostración

Representación de las fuerzas

La relación de equivalencia entre los dos sistemas suministra la siguiente ecuación

ρ1 v1+ρ2 v2=F

Si multiplicamos vectorialmente por la derecha los dos miembros de la ecuación anterior por el vector v2 obtenemos:

ρ1 v1Λv2+ρ2 v2Λv2=F Λv2 ⇒ ρ1 n=F Λv2 ⇒ ρ1 n.n=(F Λv2).n
ρ1 =((F Λv2).n) / (n.n)

De forma análoga:

ρ1 v1Λv1+ρ2 v2Λv1=F Λv1 ⇒ −ρ2 n=F Λv1 ⇒ -ρ2 n.n=(F Λv1).n
ρ2 =-((F Λv1).n) / (n.n)

Siendo las expresiones de las fuerzas fuerza 1= {C, ((F Λv2).n) v1/ (n.n)}

fuerza 2= {C, -((F Λv1).n) v2/ (n.n)}

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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