Descomposición plano-punto

El teorema (a) dice que todo sistema de fuerzas puede descomponerse, de manera única, en un sistema de fuerzas coplanario apoyado en un plano definido arbitrariamente y una fuerza aplicada en un punto(B) arbitrario no perteneciente al mencionado plano.

hipótesis disponemos de:

– un torsor arbitrario: τ[O]={O, R, M[O]}
– un plano arbitrario: (P-A).n=0, donde P={x,y,z} representa al punto genérico del mismo, A es un punto conocido de este plano y n es un vector normal al mencionado plano.
– un punto (B) no contenido en el plano: (B-A).n ≠ 0

demostración

A la fuerza aplicada en el punto B que buscamos le corresponde el torsor:

τb[B]={B, fb , Mb[B]={0,0,0}} y también τb[A]={A, fb , Mb[A]=(B-A)Λfb} Al sistema coplanario que buscamos le corresponde el torsor:

Representación de las fuerzas

τa[A]={A, fa , Ma[A]} y también τa[B]={B, fa , Ma[B]=Ma[A]+(A-B)Λfa}

Por tratarse de un sistema coplanario contenido en el plano antes indicado:

(14.1) fa .n =0 y Ma[A] = αn

El torsor del sistema referido al punto A tiene la siguiente expresión:

τ[A]={A, R, M[A]=M[O]+(O-A)ΛR}

La equivalencia entre el sistema original y la superposición de los sistemas buscados se expresa mediante las ecuaciones:

(14.2) fa + fb = R y Ma[A]+(A-B)Λfa=M[B]

La segunda de estas ecuaciones puede sustituirse por:

(14.3) Ma[A]+(B-A)Λfb=M[A]

De (14.1) y la segunda ecuación del sistema (14.2) se deduce:

(14.4) αn+(A-B)Λfa=M[B]

Para despejar el coeficiente α basta multiplicar escalarmente ambos miembros de la ecuación (14.4) por el vector (A-B):

αn.(A-B)+((A-B)Λfa).(A-B)=M[B].(A-B)

((A-B)Λfa).(A-B)≡0,

α=(M[B].(A-B)) / (n.(A-B));

(14.5) Ma[A]=αn=(M[B].(A-B)) n / (n.(A-B))

Para despejar el vector fa basta multiplicar vectorialmente por la derecha ambos miembros de la ecuación (14.4) por el vector n
αnΛn+((A-B)Λfa)Λn=M[B]Λn

sabemos que:
αnΛn ≡0; ((A-B)Λfa)Λn≡((A-B).n) fa -(fa.n) (A-B) =((A-B).n) fa

luego:

((A-B).n) fa =M[B]Λn es decir:

(14.6) fa =(M[B]Λn) / ((A-B).n)

Representación de las fuerzas

Para despejar el vector fb podemos recurrir a la primera de las ecuaciones (2):

(14.7) fb=R-fa

Las expresiones (14.4) (14.5) y (14.6) muestran que el teorema se cumple si: (AB).n≠ 0 condición que equivale a decir que el punto B no pertenece al plano de la descomposición.

El sistema coplanario de torsor es:

τa[A]={A, fa , Ma[A]}= {A, fa =(M[B]Λn) / ((A-B).n) , Ma[A]=(M[B].(A-B)) n / (n.(A-B))}

es equivalente a una fuerza si fa≠ 0 ,o lo que es lo mismo, si: M[B] y n no son vectores paralelos, lo cual conduce al siguiente corolario: un sistema de fuerzas que actúa sobre un rígido puede sustituirse por dos fuerzas una aplicada en un punto B fijado arbitrariamente y la otra contenida en un plano arbitrario que no contenga al punto B, con la única excepción que el momento resultante del sistema respecto del mencionado punto B sea perpendicular al plano, en cuyo caso en vez de una fuerza contenida en el plano de la descomposición deberíamos hablar de un “par”:

fa=0 ΛM[B]Λn=0 y Ma≠0 ΛM[B].(A-B)≠0.

El sistema se reduce a una fuerza no se incluye el caso M[B]Λn=0 en el que el sistema no puede reducirse a una fuerza aplicada en el punto B y una fuerza coplanaria al plano π, esta última debe sustituirse por un par y la representación de éste mediante fuerzas tiene un elevado grado de indeterminación difícil de restringir.

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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