Determinación de la resultante de un sistema de fuerzas

Si se conocen los momentos resultantes (M[Ai]) de un sistema de fuerzas respecto de tres puntos (Ai ; i=1,…,3) no alineados, se puede despejar la resultante (R) de dicho sistema,

demostración:

Sabemos que:

M12≡ M(A2) – M(A1) = (A1-A2) Λ R
M23≡ M(A3) – M(A2) = (A2-A3) Λ R

Despejar el vector R del sistema formado por las ecuaciones:

(a) que los vectores M12 y M23 sean paralelos (M12 Λ M23=0)
(b) que los vectores M12 y M23 no sean paralelos (M12 Λ M23≠0)

Análisis del caso (a)

Si M12 y M23 son vectores paralelos de las expresiones se deduce que ambos tendrán la dirección del vector:

n=(A1-A2) ∧(A2-A3)

Por no estar alineados los puntos: A1, A2,A3 Λ n≠0. En este caso el vector n tiene dirección normal al plano definido por estos tres puntos, el vector R será perpendicular a n y por consiguiente coplanario de los vectores (A1-A2) y (A2-A3):

R = α(A1-A2) + β(A2-A3)

Si sustituimos (4) en (1) obtendremos:

M12=(A1-A2) Λ R = α[(A1-A2)∧ (A1-A2)] +β[(A1-A2)∧(A2-A3)]

El producto vectorial [(A1-A2)∧ (A1-A2)] es nulo, luego:

M12 = β n

y de aquí, multiplicando escalarmente por n ambos miembros de la expresión se deduce que:

β = (M12. n) / n2

A continuación sustituye:

M23= (A2-A3) Λ R = α[(A2-A3) ∧(A1-A2)] + β[(A2-A3) ∧(A2-A3)]

Simplificando la expresión anterior se obtiene:

M23 = – α n

y de aquí se deduce: α = −(M23. n) / n2

Finalmente podemos escribir la expresión de la resultante correspondiente a este caso:

R = α(A1-A2) + β(A2-A3) = {- (M23. n)(A1-A2) + (M12. n) (A2-A3)}/ n2

Análisis del caso (b)

Si M12 y M23 no son vectores paralelos (M12 Λ M23 ≠ 0), para despejar R multiplicaremos vectorialmente, por la derecha, ambos miembros de la ecuación por el vector M23

M12 Λ M23 = [(A1-A2) Λ R] Λ M23

El doble producto vectorial [(A1-A2) Λ R] Λ M23 se puede desarrollar de la siguiente forma:

[(A1-A2) Λ R] Λ M23≡ {(A1-A2) .M23} R – {R.M23} (A1-A2)

La ecuación nos dice que los vectores R y M23 son perpendiculares (R.M23= 0) y teniendo todo esto en cuenta, la ecuación  se puede escribir de la siguiente forma:

M12 ∧ M23 = {(A1-A2) . M23} R

luego:

R = [M12 Λ M23] / {(A1-A2) .M23}

El denominador de la expresión no puede ser nulo en este caso (b), ya que si el producto escalar {(A1-A2) .M23} fuera nulo, el vector M23 sería perpendicular al vector(A1-A2) y como lo es también  al vector (A2-A3), sería paralelo al vector n, en cuyo caso se puede demostrar que M12 también sería paralelo al vector normal.

En efecto:

M12 Λ n = [(A1-A2) Λ R] Λ n = [(A1-A2). n] R – [n.R] (A1-A2)

Los dos productos escalares de la expresión anterior son nulos. La anulación del primero de ellos es evidente, mientras que la del segundo lo es por ser: M23 paralelo al vector normal n, siendo R perpendicular al vector M23.

En conclusión:

M12 Λ n = 0.

con lo que nos situamos en el caso (a).

Los tres momentos resultantes no son vectores arbitrarios, existe unas relaciones de dependencia entre ellos que definiremos con el nombre de ecuaciones de compatibilidad.

Se deducen las siguientes relaciones de compatibilidad:

M(A2) – M(A1) = (A1-A2) Λ R Λ (M(A2) – M(A1) ). (A1-A2) =0
M(A3) – M(A2) = (A2-A3) Λ R Λ (M(A3) – M(A2) ). (A2-A3) =0

Pero sabemos que de manera análoga también existe la relación:

M(A1) – M(A3) = (A3-A1) Λ R Λ (M(A1) – M(A3) ). (A3-A1) =0

Las tres expresiones:

(M(A2) – M(A1) ). (A1-A2) =0

(M(A3) – M(A2) ). (A2-A3) =0

(M(A1) – M(A3) ). (A3-A1) =0

son las ecuaciones de compatibilidad que deben verificar las componentes de los tres momentos para que estos tres vectores (M(Ai) , i=1,2,3) definan un torsor.

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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