Invariantes en los sistemas de fuerzas

Todo torsor puede representarse por infinidad de expresiones, ya que el polo (B) de momentos puede elegirse arbitrariamente y el momento resultante M[B] puede variaral cambiar de polo.

Denominaremos Invariantes de un sistema de fuerzas a todas las funciones de su resultante y de su momento resultante que no dependen del polo de momentos. Entre las funciones que verifican la mencionada propiedad destacamos las siguientes:

La propia resultante: R,

El trinomio invariante: T=R.M[B],

La proyección del vector momento resultante sobre la resultante: (M[B].R / ||R]|)=T / ||R]|,

el denominado momento intrínseco: Mm=(T / (R.R)) R.

La primera de esta funciones es obvia. La justificación de la independencia de la función T[R, M[B]] también resulta elemental.

Demostración:

Sabemos que cualquiera que sea el polo Q se verifica

M[Q] = M[B]+(B-Q)ΛR

Multiplicando escalarmente los dos miembros de la ecuación anterior por el vector resultante obtenemos:

M[Q].R = (M[B]+(B-Q)ΛR).R=M[B].R+((B-Q)ΛR).R

El producto mixto (((B-Q)ΛR).R) que aparece en el segundo miembro es nulo ya que dos de sus tres factores son vectores iguales:

Resumiendo: el producto escalar de la resultante de un sistema por su momento resultante no depende del polo de momentos.

T= M[Q].R =M[B].R=M[B]xRx+M[B]yRy+M[B]zRz

Justificado el carácter invariante de este trinomio, la independencia respecto del polo de las restantes funciones enumeradas es evidente.

Si un sistema está constituido por una sola fuerza puntual ({A,F}), su trinomio invariante es nulo.

Demostración:

M[A] =(A-A)ΛF={0,0,0};

T=M[A].R = 0

Recíprocamente: todo sistema que tenga trinomio invariante no nulo no puede ser equivalente a una única fuerza, este es el caso de los sistemas formados por dos fuerzas no paralelas cuyas rectas soporte se cruzan sin cortarse.

Demostración:

Sean {A1,F1} y {A2,F2} los representantes de dos fuerzas deslizantes cuyas

rectas soporte se cruzan sin cortarse; esta condición se refleja mediante la siguiente expresión:

(F2ΛF1). (A2-A1) ≠ 0

La resultante de este sistema es:

R= F1+F2

y el momento resultante del sistema respecto del punto A1:

M[A1] = (A1-A1)ΛF1 + (A2-A1)ΛF2 = (A2-A1)ΛF2

El trinomio invariante de este sistema vale:

T=(F1+F2).((A2-A1)ΛF2)=F1.((A2-A1)ΛF2)+F2.((A2-A1)ΛF2)

T=F1.((A2-A1)ΛF2)

Si aplicamos una permutación circular a los vectores que intervienen en el producto mixto (4.12) no se altera su valor:

T=(F2ΛF1). (A2-A1)

De la expresión deducimos que en estos sistemas T≠0.

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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