Invariantes en los sistemas de fuerzas
Todo torsor puede representarse por infinidad de expresiones, ya que el polo (B) de momentos puede elegirse arbitrariamente y el momento resultante M[B] puede variaral cambiar de polo.
Denominaremos Invariantes de un sistema de fuerzas a todas las funciones de su resultante y de su momento resultante que no dependen del polo de momentos. Entre las funciones que verifican la mencionada propiedad destacamos las siguientes:
La propia resultante: R,
El trinomio invariante: T=R.M[B],
La proyección del vector momento resultante sobre la resultante: (M[B].R / ||R]|)=T / ||R]|,
el denominado momento intrínseco: Mm=(T / (R.R)) R.
La primera de esta funciones es obvia. La justificación de la independencia de la función T[R, M[B]] también resulta elemental.
Demostración:
Sabemos que cualquiera que sea el polo Q se verifica
M[Q] = M[B]+(B-Q)ΛR
Multiplicando escalarmente los dos miembros de la ecuación anterior por el vector resultante obtenemos:
M[Q].R = (M[B]+(B-Q)ΛR).R=M[B].R+((B-Q)ΛR).R
El producto mixto (((B-Q)ΛR).R) que aparece en el segundo miembro es nulo ya que dos de sus tres factores son vectores iguales:
Resumiendo: el producto escalar de la resultante de un sistema por su momento resultante no depende del polo de momentos.
T= M[Q].R =M[B].R=M[B]xRx+M[B]yRy+M[B]zRz
Justificado el carácter invariante de este trinomio, la independencia respecto del polo de las restantes funciones enumeradas es evidente.
Si un sistema está constituido por una sola fuerza puntual ({A,F}), su trinomio invariante es nulo.
Demostración:
M[A] =(A-A)ΛF={0,0,0};
T=M[A].R = 0
Recíprocamente: todo sistema que tenga trinomio invariante no nulo no puede ser equivalente a una única fuerza, este es el caso de los sistemas formados por dos fuerzas no paralelas cuyas rectas soporte se cruzan sin cortarse.
Demostración:
Sean {A1,F1} y {A2,F2} los representantes de dos fuerzas deslizantes cuyas
rectas soporte se cruzan sin cortarse; esta condición se refleja mediante la siguiente expresión:
(F2ΛF1). (A2-A1) ≠ 0
La resultante de este sistema es:
R= F1+F2
y el momento resultante del sistema respecto del punto A1:
M[A1] = (A1-A1)ΛF1 + (A2-A1)ΛF2 = (A2-A1)ΛF2
El trinomio invariante de este sistema vale:
T=(F1+F2).((A2-A1)ΛF2)=F1.((A2-A1)ΛF2)+F2.((A2-A1)ΛF2)
T=F1.((A2-A1)ΛF2)
Si aplicamos una permutación circular a los vectores que intervienen en el producto mixto (4.12) no se altera su valor:
T=(F2ΛF1). (A2-A1)
De la expresión deducimos que en estos sistemas T≠0.
Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada
