Recta central

Para un sistema de fuerzas de resultante no nula (R≠0) el lugar de los polos (P) respecto de los cuales se verifica M[P]Λ R =0 (M[P]=µR) es una recta que se denomina recta central.

Esta recta es paralela al vector resultante y si T=0 el sistema equivale a una única fuerza cuya recta soporte coincide con la recta central del sistema equivalente. El momento resultante de este sistema respecto de los polos ubicados en la recta central es nulo.

demostración:

Sea τ={Q. R≠0, M[Q]} el torsor del sistema; buscamos las soluciones a la ecuación: RΛM[P] =0.

Se sabe que:

M[P]=M[Q]+(Q-P)ΛR Λ 0=RΛM[P]=RΛM[Q]+RΛ((Q-P)ΛR) Λ RΛM[Q]= RΛ((P-Q)ΛR)≡(R.R) (P-Q)- (R.(P-Q))R .
Una solución particular de esta ecuación es el punto Pq que verifica:

R.(Pq-Q)=0.

RΛM[P] =0 ⇒ (Pq-Q)=RΛM[Q] / (R,R).

Comprobemos a continuación que toda pareja de puntos distintos (P1 y P2 ) soluciones

de la ecuación RΛM[P] =0 deben estar alineados paralelamente a la resultante y con ello demostraremos que el lugar de las soluciones a la ecuación mencionada es una recta paralela a la resultante uno de cuyos puntos es Pq.

RΛM[P1] =0
RΛM[P2] =0
RΛ(M[P1] – M[P2]) = 0 Λ RΛ((P2-P1)ΛR) =0
0=RΛ((P2-P1)ΛR)≡ (R.R) (P2-P1) – (R.(P2-P1)) R Λ (P2-P1) =λR

Sabemos que la recta de puntos P definida por la ecuación (P-Pq) Λ R=0 verifica M[P]=M[Pq] y por ello:
M[P]ΛR=M[Pq]ΛR=0

El punto Pq es el punto de la recta central más próximo al polo Q (R.(Pq-Q)=0 ) y la recta central es común a todos los sistemas contenidos en un mismo torsor.

Para los sistemas equivalentes a una única fuerza su recta central puede definirse por la ecuación M[P]=0.

En los sistemas formados por más de una fuerza es frecuente que los vectores resultante y momento resultante no sean perpendiculares (T=R.M[P]≠0) en cuyo caso el sistema de fuerzas no será equivalentes a una única fuerza.

Para todo sistema cuya resultante no sea nula podemos clasificar el espacio de los polos en rectas paralelas a la resultante. Cada punto del espacio pertenece a una sola recta de esta familia.

Los momentos resultantes de cada sistemas de fuerzas respecto de todos de los puntos de una recta paralela a su resultante, tienen el mismo valor, y que si consideramos dos polos que no pertenecen a la misma recta de esta familia, los respectivos momentos resultantes de un mismo sistema serán distintos.

Ya se ha demostrado que entre las funciones de los sistemas de fuerzas invariantes frente al cambio de polo se encuentra la proyección del momento resultante sobre la resultante.

Se sabe también que cualquier vector puede descomponerse de manera biunívoca en la suma de dos vectores perpendiculares donde uno de ellos tiene una dirección previamente establecida.

Aplicando esta descomposición al vector momento resultante de un sistema respecto de un polo arbitrario Q, y eligiendo que la dirección de uno de los vectores (Mm) de la descomposición del momento sea la de la
resultante (Mm=µR) tal como se indica en la figura 9 resulta: ||M[Q]|| ≥ ||Mm||

demostración:

M[Q] = Mm+ Mp, siendo Mm . Mp = 0
M[Q] .M[Q] = (Mm+ Mp). (Mm+ Mp) =Mm.Mm + 2 Mm.Mp + Mp.Mp
M[Q] .M[Q] = ||M[Q]||2 =Mm.Mm + Mp.Mp=||Mm||2 +||Mp||2

dado que el cuadrado del módulo de un vector nunca es una cantidad negativa resulta:

||M[Q]|| ≥ ||Mm||

Recordemos que es invariante, frente al cambio de polo, el vector denominado momento intrínseco Mm = (M[Q] .R) R/ (R.R)

Demostraremos que el momento resultante de un sistema de resultante no nula respecto de los puntos de su recta central coinciden con su momento intrínseco (M[Pq]= Mm)
demostración:

M[Pq]=M[Q]+(Q-Pq)ΛR= M[Q]- (RΛM[Q])ΛR / (R.R)=
M[Q] – M[Q]+ (R.M[Q]) R / (R.R)= (R.M[Q]) R / (R.R)=Mm
M[P] = M[Pq]= (R.M[Q]) R / (R.R)=Mm

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada

Publicado en Representación de fuerzas

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