Descomposición de los sistemas coplanarios

Todo sistema coplanario de fuerzas puede reducirse a dos fuerzas contenidas en su mismo plano, una de las cuales puede ser arbitraria, dentro del mencionado plano, de la que supondremos que A2 es un punto de la misma y v su dirección; la otra fuerza

Representación de las fuerzas con recta soporte que pasa por un nuevo punto A1, también arbitrario, aunque perteneciente al plano del sistema pero con la limitación que la recta que une los puntos A2 y A1 no resulte paralela a la recta soporte de la primera fuerza.

Hipótesis:

– τ={A, R, Mp[A]} es el torsor del sistema referido a un punto A del plano,
– n define a un vector normal al plano Λ {R.n =0, Mp[A] =µn}
– A1 es otro punto del plano en el que se aplicará una de las fuerzas a determinar y cuyo torsor es τ1={A1,f2,{0,0,0}} siendo: (A1-A).n =0 , f1.n =0.

– {A2, v} define la recta soporte sobre la que se aplicará la fuerza de torsor: {A2,f1=αv,{0,0,0}} siendo: (A2-A1).n =0, (A2-A1)Λv≠0 , v.n=0.

Demostración

Calculamos el momento resultante respecto del punto A1 (Mp[A1]=µ’n) del sistema coplanario a descomponer: Mp[A1] =Mp[A] +(A-A1)ΛR y lo igualamos al momento resultante del sistema formado por las dos fuerzas buscadas. Una de estas dos fuerzas (τ1={A1,f2}) tiene momento nulo respecto del punto A1 ya que su recta soporte pasa por dicho punto y por ello:

Mp[A1]=µ’n =(A2-A1)Λf1=(A2-A1)∧αv

Para despejar el coeficiente α basta multiplicar escalarmente los dos miembros de la ecuación anterior por el vector normal al plano (n).

α=(Mp[A1].n ) /(n.(A2-A1)Λv) Λ f1=(Mp[A1].n ) v /(n.(A2-A1)Λv)

y f2=R-f1

Si un sistema es equivalente a una fuerza puede descomponerse en dos fuerzas coplanarias a la primera y cuyas rectas soporte sean paralelas a la misma.

Un corolario del anterior dice: un sistema coplanario y arbitrario de fuerzas se puede descomponer en tres fuerzas cuyas rectas soporte se pueden fijar arbitrariamente, siempre que estén contenidas en el plano del sistema y que no sean, las tres, concurrentes en un mismo punto, ni sean, las tres, paralelas. Si las rectas soporte de las tres fuerzas definen un triángulo diremos que la descomposición es triangular, y si dos de las rectas son paralelas diremos que se trata de una descomposición en U.

hipótesis

Analizamos primero la descomposición triangular. Sean A1,A2, y A3 los puntos de intersección de las parejas formadas por las tres rectas soporte y sea:

Representación de las fuerzas

τp={A1, Rp, M p[A1]=µ1n} (Rp.n=0) el torsor del sistema coplanario que queremos descomponer.

Este teorema se puede reducir al anterior, para ello: podemos considerar como vector normal al plano a n=(A2-A1)∧(A3-A2) y v=(A3-A2), el punto C es la intersección de la recta central del sistema ( si la tiene) con la recta (A2,A3). La fuerza {A2, f 1= α(A3-A2)=αv} es la correspondiente al teorema anterior mientras que la fuerza {A1,f2} puede descomponerse a su vez en las dos fuerzas siguientes:

{A1,β2(A2-A1)} y {A1,β3(A3-A1)} para ello basta resolver la ecuación:
f=β2(A2-A1)+ β3(A3-A1)

“U” el procedimiento es similar si elegimos como puntos A1 y A2 a los de intersección de las dos rectas soportes paralelas con la tercera recta soporte que no lo es, y como vector v a un vector director de las dos rectas paralelas.

Planteamos ahora la demostración de este teorema de descomposición triangular de forma más simétrica. El sistema equivalente buscado es de la forma:

{{A1, α3 (A2-A1)}, {A2, α1 (A3-A2)}, {A3, α2 (A1-A3)}}

Resolver esta descomposición consiste en calcular los valores de los coeficientes αi (i=1,..3). Sabemos que dos sistemas de fuerza son equivalentes cuando son iguales sus respectivos momentos resultantes respecto de tres puntos no alineados, de lo que se deduce:

Mp[A1]=µ1n=(A2-A1)∧α1 (A3-A2) =α1 n Mp[A2]=Mp[A1]+(A1-A2]∧Rp=µ2n=(A3-A2)∧α2 (A1-A3) =α1 n

ya que:

(A3-A2)∧ (A1-A3)=(A3-A2)∧ (A1-A2)+(A3-A2)∧ (A2-A3)=(A3-A2)∧ (A1-A2)=n

De manera análoga se deduce:

Mp[A3]=Mp[A1]+(A1-A3]ΛRp=µ3n=(A1-A3)∧α3 (A2-A1) =α3 n

De estas ecuaciones se deduce:

αi=µi= (Mp[Ai].n) / (n.n) (i=1,..3)

Expresiones de las tres fuerzas buscadas:

{{A1, α3 (A2-A1)=(Mp[A3].n) (A2-A1) / (n.n) }, {A2, α1 (A3-A2)=(Mp[A1].n) (A3-A2) / (n.n) },
{A3, α2 (A1-A3)=(Mp[A2].n) (A1-A3) / (n.n) }}

Representación de las fuerzas

La única limitación de estas expresiones es que n.n≠0, que equivale a decir que los tres puntos A1(i=1,..3) no pueden estar alineados.

Para la descomposición en U consideremos los dos puntos C1 y C2 en los que las dos rectas soporte paralelas cortan a la tercera recta soporte y sea u un vector director de las dos rectas paralelas. Podemos elegir el vector normal al plano n=(C2-C1)∧v. Las fuerzas solicitadas son de la forma:

{{C1, γ1 v}, {C2, γ2 v}, {C1, λ(C2-C1)}}

demostración

Sean Mp[C1], y Mp[C2] los momentos resultantes del sistema que tratamos de descomponer respecto de los puntos C1 y C2 de la equivalencia entre los dos sistemas se deduce:

Mp[C1]=ν1 n = (C2-C1) ∧γ1v= γ1 n Λ ν1= γ1 = (Mp[C1].n) / (n.n)
Mp[C2]=ν2 n = (C1-C2) ∧γ2v= -γ2 n Λν2= -γ2 = (Mp[C2].n) / (n.n)

Para calcular el valor de λ recurrimos a la igualdad entre las resultantes de ambos sistemas:

Rp= γ1 v+γ2 v+λ(C2-C1)
f1 = γ1 v; f2= γ2 v; f3=λ(C2-C1);

Definimos el vector η=v∧n que es perpendicular al vector v sin serlo al vector (C2 -C1) ya que:

η.(C2-C1)=(vΛn).(C2-C1)=((C2-C1)Λv).n=n.n≠0

Rp.η=γ1 v.η+γ2 v.η+λ(C2-C1).η=λ(C2-C1).η

γ1 v.η=γ2 v.η=0 ⇒ λ= (Rp.η) / (C2-C1).η λ= (Rp.(vΛn)) / ((C2-C1).(vΛn))

(C2-C1).(vΛn) ≡n.n y Rp.(vΛn)≡(RpΛv).n Λ λ= ((RpΛv).n ) / (nn)

Las tres fuerzas buscadas son:

{C1, f1= (Mp[C1].n) v / (n.n)}, {C2, f2=−(Mp[C2].n) v / (n.n)}, {C1, ((RpΛv).n ) (C2-C1) / (n.n)}

Representación de las fuerzas

En lo que respecta a esta última descomposición, si el sistema coplanario tiene resultante nula (sistema «par»), sin que se anule su momento resultante:

λ= ((RpΛv).n ) / (nn) será nulo y por consiguiente la fuerza apoyada en la recta que pasa por C1 y C2 será nula, quedando reducida la descomposición a dos fuerzas orientadas según la dirección del vector v.

Para la descomposición del torsor de un sistema coplanario en dos fuerzas cuyas rectas soporte están contenidas en su plano siendo C1 y C2 sus respectivos puntos de aplicación y v el vector director de la fuerza aplicada en el punto C2

Sean: n un vector normal al plano, τ={C1, Rp, Mp[C1]} el torsor en C1 del sistema coplanario que queremos descomponer.

n=(C2-C1)Λv≠0,
n.R =0,
Mp[C1]=µn
f2=βv,
f1.n=0

Ecuaciones que representan la equivalencia entre los dos sistemas:

f1+βv=Rp
(C2-C1)∧βv= βn =Mp[C1]

Multiplicando escalarmente los dos miembros de esta última ecuación por el vector n resulta:
β =(Mp[C1].n) / (n,n) ⇒ {C2 f2 =(Mp[C1].n) v / (n,n)}

{C1,f1 =Rp- (Mp[C1].n) v / (n,n)}

Al mismo resultado puede llegarse sumando las dos fuerzas aplicadas en el punto C1 de la descomposición en U.

Fuente: Apuntes de Física del Departamento de Física Aplicada